Solucionario COMATEQ 2025

Solución P1

$2^n=(2^7)^2+(2^2)^7=2\cdot 2^{14}$. Por tanto $n=15$.

Solución P2

Si Noether miente entonces Gauss tiene la razón, entonces Gauss es racional, Noether es imprecisa y Euler racional.

Si Noether dice la verdad, Gauss miente y Euler dice la verdad y es racional.

Si Euler dice la verdad, Gauss es racional, Noether es imprecisa y por tanto Euler racional.

Solución P3

Sea $\overline{ab}$ el número de dos cifras, o sea $\overline{ab}=10\cdot a+b$. Como el número es impar, entonces $b$ debe ser un dígito impar; luego debemos encontrar los dígitos $a,b$ tales que
$$10\cdot a+b=k\cdot a\cdot b \quad \text{para algún}\, k\in\mathbb{N},$$
es decir,
\begin{equation}
a(k\cdot b-10)=b;\qquad\qquad\qquad\text{(e1)}
\end{equation}
luego $a$ debe ser un divisor de $b$.

Ahora con $a=b$, de (e1) tendríamos $b\cdot k-10=1$, esto es $b\cdot k=11$, luego $b=1$ y $k=11$. Así, el número $\overline{ab}$ es $11$.

Si $a=1$, de (e1) tendríamos $k\cdot b-10=b$, luego $b(k-1)=10$, las posibilidades de $b$ son $1$ y $5$. Con $b=5$ se tiene que $k=3$; por tanto, el número $\overline{ab}$ es $15$.

Ahora como $b$ es impar, o sea $b\in\{1,\,3,\,5,\,7,\,9\}$ y $a$ es divisor de $b$, las posibilidades que quedan son $b=9$ y $a=3$, las cuales no satisfacen la ecuación (e1). En efecto, $$3(9k-10)=9\, \Leftrightarrow \, 9k-10=3\, \Leftrightarrow \, 9k=13.$$

No existe $k$ natural que satisfaga $9k=13.$ Por lo tanto, los números son $11$ y $15$ y su suma es $26$.

Solución P4

Sean $r$ el radio del círculo inscrito, $A$ el área sombreada de la figura 1 y $R$ el radio del círculo circunscrito, $B$ el área sombreada de la figura 2.

Entonces
$$A=(2r)^2-\pi r^2=(4-\pi)r^2\quad \text{y}\quad B=\pi R^2-2R^2=(\pi-2)R^2.$$
La razón entre $A$ y $B$ es $$\frac{A}{B}=\frac{(4-\pi)r^2}{(\pi-2)R^2}.$$
Como $r=2R$, entonces $$\frac{A}{B}=\frac{(4-\pi)(2R)^2}{(\pi-2)R^2}=\frac{(4-\pi)4R^2}{(\pi-2)R^2}=\frac{4(4-\pi)}{\pi-2}.$$

Solución P5

Para que un número de cuatro dígitos que inicia con el dígito 2 y termina con el dígito 5 sea mayor a 2025, entonces es necesario que el dígito de las centenas sea mayor o igual a 0. De otro lado, para que su reverso sea mayor que el reverso de 2025, esto es, 5202, se requiere que el dígito de las decenas sea mayor o igual a 2.

En otras palabras, para que un número de la forma \(2ab5\) (siendo \(a\) y \(b\) dígitos) supere a 2025, se requiere que \(a\geq0\) y \(b\geq2\).

Vamos a determinar la solución del problema analizando cuatro posibilidades:

1. El dígito de las centenas es mayor a 0 y el dígito de las decenas es mayor a 2. Es decir, \(a>0\) y \(b>2\).
2. El dígito de las centenas es 0 y el dígito de las decenas es mayor a 2. Es decir, \(a=0\) y \(b>2\).
3. El dígito de las centenas es mayor a 0 y el dígito de las decenas es 2. Es decir, \(a>0\) y \(b=2\).
4. El dígito de las centenas es 0 y el dígito de las decenas es 2. Es decir, \(a=0\) y \(b=2\).

En el caso (1) tenemos 9 opciones para el dígito de las centenas (de 1 a 9) y 7 opciones para el dígito de las decenas (de 3 a 9). Luego en total tenemos \(9\times7=63\) números posibles, todos ellos superando a 2025.

En el caso (2) tenemos 7 opciones para el dígito de las decenas (de 3 a 9). Luego en total tenemos 7 números posibles (2035, 2045, ..., 2095), todos ellos superando a 2025.

En el caso (3) tenemos 9 opciones para el dígito de las centenas (de 1 a 9). Luego en total tenemos 9 números posibles (2125, 2225, ..., 2925), todos ellos superando a 2025.

En el caso (4) analizamos el número 2025, pero este número no es mayor que 2025; luego este número no supera a 2025.

En conclusión hay 63+7+9=79 números de cuatro dígitos que empiezan con el dígito 2 y que terminan con el dígito 5 que superan al número 2025.

Solución P6

Vamos a considerar el polígono sombreado de azul claro que se muestra en la siguiente figura. Este polígono tiene 7 lados, por tanto, la suma de los ángulos internos de este polígono es \(180^\circ\times(7-2)=900^\circ\).

Otra forma de argumentar este hecho se observa en la siguiente figura, donde el polígono se ha subdividido en 5 triángulos internos cuyos vértices son vértices del polígono original. Dado que la suma de los ángulos internos de cada triángulo es \(180^\circ\), entonces la suma de los ángulos internos del polígono es \(180^\circ\times5=900^\circ\).

Algunos ángulos internos de este polígono pueden determinarse de la siguiente manera:

1. En los vértices que son vértices del cuadrado grande se tienen ángulos rectos, esto es, ángulos cuya medida es \(90^\circ\).
2. En el vértice que es vértice del triángulo equilátero, se tienen ángulos suplementarios. Dado que los ángulos internos de un triángulo equilátero miden \(60^\circ\), entonces, el ángulo interno del polígono (en este vértice) mide \(300^\circ\).
3. En el vértice que es vértice del cuadrado pequeño, se tienen ángulos suplementarios. Dado que los ángulos internos de un cuadrado miden \(90^\circ\), entonces el ángulo interno del polígono (en este vértice) mide \(270^\circ\).
4. En el vértice que es vértice simultáneamente del triángulo equilátero y el cuadrado pequeño, se unen cuatro ángulos cuya suma es \(360^\circ\); tres de ellos miden: \(150^\circ\) (según la información del problema), \(60^\circ\) (ángulo interno del triángulo equilátero) y \(90^\circ\) (ángulo interno del cuadrado). Entonces, el ángulo interno del polígono (en este vértice) mide \(60^\circ\).

En la siguiente figura se presenta esta información.

En conclusión, la suma de los ángulos internos del polígono es \(50^\circ+90^\circ+90^\circ+x+270^\circ+60^\circ+300^\circ=860^\circ+x,\)
la cual debe ser \(900^\circ\). Por tanto el ángulo marcado con la letra \(x\) debe medir \(40^\circ\).

Solución P7

Sea \( n \) un número de dos cifras que cumple la condición. Esto significa que existe un entero \( q \) tal que:
\[n^2 = 5q + 4.\]

Reescribiendo la ecuación:

\[n^2 - 4 = 5q.\]

Factorizando el lado izquierdo:

\[(n - 2)(n + 2) = 5q.\]

Dado que \( (n - 2)(n + 2) \) es múltiplo de 5, uno de los factores debe ser múltiplo de 5. Es decir, existe un entero \( k \) tal que:

\[n - 2 = 5k \quad \text{o} \quad n + 2 = 5k\]

Despejando \( n \):

\[n = 5k + 2 \quad \text{o} \quad n = 5k - 2\]

Ahora, contamos cuántos valores de \( n \) en el rango de dos cifras \( (10 \leq n \leq 99) \) cumplen estas formas:

• Para \( n = 5k + 2 \), el mínimo valor en el rango ocurre cuando \( k = 2 \) (\( n = 12 \)) y el máximo cuando \( k = 19 \) (\( n = 97 \)). Esto da \(18\) valores.
• Para \( n = 5k - 2 \), el mínimo valor en el rango ocurre cuando \( k = 3 \) (\( n = 13 \)) y el máximo cuando \( k = 20 \) (\( n = 98 \)). Esto da \(18\) valores.

En total, hay \(36\) números que cumplen la condición.

Solución P8

Sea \( BM = x \), entonces \( AM = AB + BM = a + x \). El área del \(\triangle DBM=\frac{a(a+x)}{2}-\frac{a^2}{2} \) que lleva a \(\frac{a(a+x)}{2}-\frac{a^2}{2} =a^2\) es decir \(x=2a\). Nuevamente comparando áreas y llamando con $U$ a la intersección entre $\overline{BC}$ y $\overline{DM}$, $$\frac{2a(a-u)}{2} =a^2-\left(\frac{a^2}{2}-\frac{au}{2}\right),$$ para obtener $a=3 DU$.

Solución P9

Llamemos  $x$ el al dígito de las unidades, entonces

$x+3$ es el dígito de las decenas y

$x+(x+3)=7$ la condición del problema. Al resolver la ecuación

$x+x+3=7$

$2x=7-3$

$2x=4$

$x=2$

Luego, si sobrepasa en tres, el número será 52.

Otra forma es mirar los números de dos dígitos del 10 al 99 y observar cuál de ellos al sumar sus dígitos el resultado es 7 de esta lista, mira la condición de que el digito de las decenas sea mayor en tres unidades.

Solución P10

8193.  

Se tienen $4^5= 1024$ formas posibles de responder las preguntas de opción múltiple con única respuesta, por $2^3=8$ formas de responder las de falso o verdadero. Es decir, 8192 formas posibles de responder. Por el principio del palomar, cuando sumamos un participante más, se garantizará que al menos dos de ellos tengan las mismas respuestas.

Solución P11

Como $AD = AE$, el ángulo $AED$ es igual al ángulo $ADE = 71°$, entonces el $EAD = 180° - 2(71) = 38°$. Luego, el ángulo $CAB = 40° + 38° = 78°$.

Y, como $AC = AB$, el ángulo  $ACB =  ABC = (180° - 78°) / 2 = 51°$.

Así, finalmente tenemos que el ángulo $ADB = 180° - DAB - ABC = 180° - 40 - 51° = 89°$.

Solución P12

Sea

\[
x=\frac{2024}{2+\frac{2024}{2+\frac{2024}{\dots}}}
\]

Notando que ese valor de \(x\) se repite nuevamente en el paso infinito de la fracción continua, es posible afirmar que

\[
x=\frac{2024}{2+x}
\]

Así, se tendría una ecuación en una incógnita asociada a la expresión, con la que podemos operar de la siguiente manera:

\[
x(2+x)=2024
\]

\[
x^2+2x=2024
\]

Así,

\[
\left( 1+\frac{2024}{2+\frac{2024}{2+\frac{2024}{\dots}}} \right)^2=(1+x)^2=x^2+2x+1=2024+1=2025
\]

También es posible partir de la ecuación \(x^2+2x=2024\), usar la resolvente cuadrática y hallar los valores \(x=44\) y \(x=-46\). Pero al ser \(x\) una expresión fraccionaria positiva, se descarta el \( -46 \). Luego,

\[
\left( 1+\frac{2024}{2+\frac{2024}{2+\frac{2024}{\dots}}} \right)^2=(1+44)^2=45^2=2025
\]