Solucionario COMATEQ 2022
Agradecemos a las universidades que contribuyeron enviando problemas al banco: UDENAR, UNIVALLE, UNICAUCA, UNIQUINDIO, UIS, UT, UPRM.
P3 (UNIQUINDIO)
Siete libros se colocan como se muestra en la figura. Se tomó el primer libro (Matemáticas) y se colocó en el medio de los libros restantes. El proceso se repite 2022 veces en total. Determinar cuál libro estará en el primer lugar.
Seven books are placed as the figure shows. The first book (Mathematics) was taken and placed in the middle of the remaining books. The process is repeated 2022 times in total. Determine which book will be in the first place.
P4 (UT)
El ingeniero Marcos se encuentra construyendo un salón de eventos y desea averiguar cuántas baldosas necesita para cubrir el piso del salón. La baldosa que desea comprar el ingeniero Marcos mide $\frac{4}{9}$ $m^2$. Si la medida de la baldosa es la misma de los cuadrados más pequeños que se muestran en el plano, ¿cuántas baldosas necesita comprar Marcos para el salón?, ¿y cuál es el área del salón?
Engineer Marcos is building an event room and he wants to find out how many tiles he needs to cover the floor of the room. The tile that engineer Marcos wants to buy measures $\frac{4}{9}$ $m^2$. If the size of the tile is the same as the smallest squares shown on the plan, how many tiles does Mark need to buy for the living room, and what is the area of the living room?
P6 (UPRM)
$ABCDE$ es un pentágono regular. Encuentre la medida del ángulo entre $AC$ y $BD$.
$ABCDE$ is a regular pentagon. Find the measure of the angle between $AC$ and $BD$.
P8 (UNICAUCA)
El vértice $F$ de un cubo de arista (o eje) $2022$ se corta de forma que los puntos $A, B$ y $C$ del corte, se encuentran a igual distancia de $F$. De idéntica forma se recortan todos los vértices del cubo. En el poliedro resultante, las caras triangulares se pintan de rojo y las demás caras de azul. Hallar la longitud de $AF$, para que las áreas azul y roja sean iguales, (ver figura).
The vertex $F$ of a cube with edge $2022$ is cut in such a way that the points $A, B$ and $C$ of the cut are at the same distance from $F$. In the same way, all the vertices of the cube are trimmed. In the resulting polyhedron, the triangular faces are painted red and the other faces blue. Find the length of $AF$, so that the blue and red areas are equal, (see figure).
S8
Llamemos a $AF=x$, las caras triangulares son triángulos equiláteros de lado $x\sqrt{2}$, cada cara triangular tiene área $\frac{\sqrt{3}}{4}(x\sqrt{2})^2$ y como son $8$ caras triangulares pintadas de rojo, entonces el área roja es $$8\left(\frac{\sqrt{3}}{4}(x\sqrt{2})^2\right) = 4x^2\sqrt{3}.$$ El área de la parte azul del poliedro es $$6\left( L^2-4\frac{x^2}{2}\right)= 6(L^2- 2x^2),$$ ya que en las caras del cuadrado se eliminan $4$ triángulos rectángulos isóseles de catetos $x$ y son $6$ caras.
Ahora, la igualdad $$4x^2\sqrt{3}=6(L^2- 2x^2),$$ con $L=2022$ nos da $$x=2022\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{3}+3}}.$$
P10 (UDENAR)
Egan Bernal y Tadej Pogacar compiten en una pista de ciclismo circular de 200 metros de longitud. Los dos inician desde el mismo punto de partida, con la diferencia de que Pogacar recorre la pista en sentido contrario a las manecillas del reloj, mientras que Bernal lo hace en el sentido de las manecillas. En la figura se muestra la relación entre el tiempo y la distancia recorrida por cada uno de ellos en los primeros 15 minutos. En los siguientes 15 minutos la relación es la misma que la primera, lo mismo sucede con los siguientes 15 minutos y así sucesivamente.
Egan Bernal and Tadej Pogacar compete on a 200 meter long circular cycling track. Both start from the same starting point, with the difference that Pogacar runs the track counterclockwise, while Bernal runs clockwise. The figure shows the relationship between the time and the distance traveled by each of them in the first 15 minutes. In the next 15 minutes the relationship is the same as the first, the same happens with the next 15 minutes and so on.
Si la carrera termina cuando los dos se vuelvan a encontrar en el punto de partida, ¿cuántas vueltas a la pista recorre Bernal? Escriba su respuesta como un número.
If the race ends when the two meet again at the starting point, how many laps of the track does Bernal cover? Write your answer as a number.
P11 (UNIQUINDIO)
Se tienen tres engranajes conectados, uno de 8 dientes, otro de 12 y el último de 5, como se muestra en la figura. Si las ruedas giran, ¿cuál es el mínimo número de rotaciones que debe dar la rueda central para que estén alineadas nuevamente las flechas en la dirección original? Escriba su respuesta como un número.
There are three meshed gears, one with 8 teeth, another with 12 and the last with 5, as shown in the figure. If the wheels rotate, what is the minimum number of rotations that the center wheel must do so the arrows line up again in the original direction? Write your answer as a number.
